1、互質(zhì)是什么意思？

兩個(gè)正整數(shù)只有一個(gè)公約數(shù)1時(shí),它們的關(guān)系叫做互質(zhì),如3和11互質(zhì)。

定義：

互質(zhì),若N個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱這N個(gè)整數(shù)互質(zhì)。

例如8,10的最大公因數(shù)是2，不是1，因此不是整數(shù)互質(zhì)。

7,11,13的最大公因數(shù)是1，因此這是整數(shù)互質(zhì)。

5和5不互質(zhì)，因?yàn)?和5的公因數(shù)有1、5。

1和任何數(shù)都成倍數(shù)關(guān)系，但和任何數(shù)都互質(zhì)。因?yàn)?的因數(shù)只有1，而互質(zhì)數(shù)的原則是：只要兩數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí)，就說(shuō)兩數(shù)是互質(zhì)數(shù)。因?yàn)?只有一個(gè)因數(shù)所以1既不是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），也不是合數(shù)，無(wú)法再找到1和其他數(shù)的別的公因數(shù)了。1和-1與所有整數(shù)互素，而且它們是唯一與0互素的整數(shù)。

互質(zhì)數(shù)的寫法：如c與m互質(zhì)，則寫作（c,m）=1。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)互質(zhì)數(shù)是這樣定義的：“公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)?！?/p>

這里所說(shuō)的“兩個(gè)數(shù)”是指自然數(shù)。

“公約數(shù)只有 1”，不能誤說(shuō)成“沒(méi)有公約數(shù)?！?/p>

這里有一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為0不與任何數(shù)互質(zhì)。嚴(yán)格地按照互質(zhì)的定義來(lái)看0與1，-1均互質(zhì)，通過(guò)任意有理數(shù)的表示方式a/b（a,b互質(zhì)且b為正整數(shù)），同樣可以得出0與1，-1均必須互質(zhì)，否則0不是有理數(shù)。

判斷方法：

（1）兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。

例如，2與7、13與19。

（2）一個(gè)質(zhì)數(shù)，另一個(gè)不為它的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

例如，3與10、5與 26。

（3）1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，它和任何一個(gè)自然數(shù)（1本身除外）在一起都是互質(zhì)數(shù)。如1和9908。

（4）相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 15與 16。

（5）相鄰的兩個(gè)奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 49與 51。

（6）較大數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如97與88。

（7）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差又較大），較小數(shù)所有的質(zhì)因數(shù)，都不是較大數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

（8）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差較小），這兩個(gè)數(shù)的差的所有質(zhì)因數(shù)都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如85和78。85－78=7，7不是78的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（9）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，較大數(shù)除以較小數(shù)的余數(shù)（不為“0”且大于“ 1”）的所有質(zhì)因數(shù)，都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 462與 221

462÷221=2……20，

20=2×2×5。

2、5都不是221的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（10）減除法。如255與182。

255－182=73，觀察知 73<82。

182－（73×2）=36，顯然 36<73。

73－（36×2）=1，

（255，182）=1。

所以這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。 [2]

三個(gè)或三個(gè)以上自然數(shù)互質(zhì)有兩種不同的情況：一種是這些成互質(zhì)數(shù)的自然數(shù)是兩兩互質(zhì)的。如2、3、5。另一種不是兩兩互質(zhì)的。如6、8、9。

2、什么叫互質(zhì)

互質(zhì)指的是兩個(gè)正整數(shù)之間沒(méi)有公因數(shù)，除了1以外，也就是它們的最大公約數(shù)為1。下面是具體的解釋：

互質(zhì)，在數(shù)學(xué)中也被稱為“互素”、“互質(zhì)數(shù)”或“互質(zhì)關(guān)系”。其中，“互素”在歐洲被常用，而“互質(zhì)數(shù)”在美國(guó)普及，中文中則一般稱之為“互質(zhì)”。判斷兩個(gè)正整數(shù)是否互質(zhì)，最常用的方法就是求它們的最大公約數(shù)。

如若它們的最大公約數(shù)為1，那么這兩個(gè)數(shù)就是互質(zhì)數(shù)。另外，如果一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么它一定是和任何其他不等于它的數(shù)都互質(zhì)的。互質(zhì)除了是一個(gè)基本概念外，還有很多有用的性質(zhì)。

例如，如果a,b互質(zhì)，那么任意的a倍數(shù)與b倍數(shù)不可能相等，即若a×k=b×j,那么a|j,b|k，這是因?yàn)閍不能整除b，所以j必然與k的值不同。另外，互質(zhì)的數(shù)有一條重要的定理：若a，b互質(zhì)，那么a和b一定可以寫成下面這個(gè)形式，即a=x^m，b=y^n，其中x和y是質(zhì)數(shù)。

互質(zhì)數(shù)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。比如在分解因數(shù)中，利用到它的性質(zhì)，可以進(jìn)行快速的質(zhì)因數(shù)分解。另外，它們?cè)跀?shù)論、密碼學(xué)、圖論、類群等多個(gè)分支領(lǐng)域也有著重要作用。

總之，互質(zhì)這個(gè)概念不僅在初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)，而且在數(shù)學(xué)研究中也有著重要的應(yīng)用。掌握和運(yùn)用它的性質(zhì)對(duì)于提升數(shù)學(xué)水平和解決實(shí)際問(wèn)題都具有很大的幫助。

擴(kuò)展知識(shí)：

整數(shù)不包括小數(shù)、分?jǐn)?shù)。如果不加特殊說(shuō)明，所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。整數(shù)的全體構(gòu)成整數(shù)集，整數(shù)集是一個(gè)數(shù)環(huán)。在整數(shù)系中，零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)。則正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)系。

3、互質(zhì)是什么意思？

互質(zhì)是什么意思呢？?jī)蓚€(gè)正整數(shù)只有一個(gè)公因數(shù)1時(shí)，它們的關(guān)系叫做互質(zhì)，如3和11互質(zhì)。

百科釋義

互質(zhì)，公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)，叫做互質(zhì)整數(shù)·公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)自然數(shù)，后者是前者的特殊情形。

最大的公因數(shù)是1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。這里所說(shuō)的“兩個(gè)數(shù)”是指除0外的所有自然數(shù)。

三個(gè)或三個(gè)以上自然數(shù)互質(zhì)有兩種不同的情況：一種是這些成互質(zhì)數(shù)的自然數(shù)是兩兩互質(zhì)的。如2、3、5。另一種不是兩兩互質(zhì)的。如6、8、9。 兩個(gè)正整數(shù),除了1以外,沒(méi)有其他公約數(shù)時(shí),稱這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù).

互質(zhì)數(shù)的概率是6/π^2。

4、互質(zhì)是什么意思

互質(zhì)是公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)，叫做互質(zhì)整數(shù)。公約數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)自然數(shù)，后者是前者的特殊情形。

例如8,10的最大公因數(shù)是2，不是1，因此不是整數(shù)互質(zhì)。7,11,13的最大公因數(shù)是1，因此這是整數(shù)互質(zhì)。5和5不互質(zhì)，因?yàn)?和5的公因數(shù)有1、5。

判別方法

（1）兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。

例如，2與7、13與19。

（2）一個(gè)質(zhì)數(shù)，另一個(gè)不為它的倍數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

例如，3與10、5與 26。

（3）1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，它和任何一個(gè)自然數(shù)（1本身除外）在一起都是互質(zhì)數(shù)。如1和9908。

（4）相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 15與 16。

（5）相鄰的兩個(gè)奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 49與 51。

（6）較大數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如97與88。

（7）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差又較大），較小數(shù)所有的質(zhì)因數(shù)，都不是較大數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

（8）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差較?。?，這兩個(gè)數(shù)的差的所有質(zhì)因數(shù)都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如85和78。85－78=7，7不是78的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（9）兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，較大數(shù)除以較小數(shù)的余數(shù)（不為“0”且大于“ 1”）的所有質(zhì)因數(shù)，都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 462與 221

462÷221=2……20，

20=2×2×5。

2、5都不是221的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（10）減除法。如255與182。

255－182=73，觀察知 73182。

182－（73×2）=36，顯然 3673。

73－（36×2）=1，

（255，182）=1。

所以這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

三個(gè)或三個(gè)以上自然數(shù)互質(zhì)有兩種不同的情況：一種是這些成互質(zhì)數(shù)的自然數(shù)是兩兩互質(zhì)的。如2、3、5。另一種不是兩兩互質(zhì)的。如6、8、9。

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