1、傅立葉變換性質(zhì)

傅立葉變換性質(zhì)如下：

1、線性性質(zhì)，一種常見的性質(zhì)。

2、位移性質(zhì)，主要應用與平移。

3、相似性質(zhì)，通過一個常數(shù)來改變周期。

4、微分性質(zhì)，描述導數(shù)與傅里葉變換后的函數(shù)之間的關系。

5、積分性質(zhì)。

6、卷積定理，在物理模型變換中，經(jīng)常使用這個方法。

7、帕薩瓦爾等式（parserval）：主要應用于計算。

傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，當然，也需要一定的高等數(shù)學基礎，最基本的是級數(shù)變換，其中傅立葉級數(shù)變換是傅立葉變換的基礎公式。

傅立葉變換是數(shù)字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。

2、傅里葉變換的十大性質(zhì)

1. 線性性：傅里葉變換是線性的，即對于任意兩個信號f(t)和g(t)，以及任意實數(shù)a和b，有F[af(t)+bg(t)]=aF[f(t)]+bF[g(t)]。

2. 對稱性：傅里葉變換具有對稱性，即f(t)的傅里葉變換F(ω)與F(-ω)對稱。

3. 移位性：f(t)在時域上的移位，相當于在頻域上進行相位旋轉(zhuǎn)，即F[f(t-a)]=e^(-jωa)F[f(t)]。

4. 頻率平移性：在時域上平移信號，會在頻域上產(chǎn)生相位變化，即F[f(t)e^(jω0t)]=F[f(t)]*δ(ω-ω0)。

5. 時間反轉(zhuǎn)性：f(-t)的傅里葉變換為F(-ω)，即信號的時間反轉(zhuǎn)在頻域上相當于頻率反轉(zhuǎn)。

6. 頻率反轉(zhuǎn)性：f*(-t)的傅里葉變換為F*(-ω)，即信號的復共軛在頻域上相當于頻率反轉(zhuǎn)。

7. 卷積定理：時域上的卷積在頻域上相當于乘積，即F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]。

8. 相關定理：時域上的相關在頻域上相當于兩個信號的乘積的傅里葉變換，即F[f(t)*g(-t)]=F[f(t)]*F[g(-t)]。

9. 能量守恒：信號在時域上的能量等于在頻域上的能量，即∫|f(t)|^2 dt = ∫|F(ω)|^2 dω。

10. Parseval定理：信號在時域上的平均功率等于在頻域上的功率譜密度積分，即∫|f(t)|^2 dt = (1/2π)∫|F(ω)|^2 dω。

3、傅里葉變換及其性質(zhì)

對函數(shù)x（t）進行如下積分，并記為X（ω）：

地球物理數(shù)據(jù)處理基礎

其中 這稱為傅里葉正變換，X（ω）是x（t）的傅里葉變換。利用X（ω）可以重構信號函數(shù)x（t），即

地球物理數(shù)據(jù)處理基礎

稱為傅里葉反變換。兩式組成一個傅里葉變換對。若t代表空間坐標變量，則ω就代表空間頻率域的頻率變量，因此稱X（ω）為x（t）的頻譜函數(shù)。

傅里葉變換的性質(zhì)：設f（x），g（x）的傅里葉變換分別是F（ξ），G（ξ），那么

（1）線性 af（x）＋bg（x）的傅里葉變換是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常數(shù)）；

（2）褶積（或卷積）f（x）*g（x）＝∫∞－∞f（u）g（x－u）du的傅里葉變換是F（ξ）·G（ξ）；

（3）翻轉(zhuǎn) f（－x）的傅里葉變換是F（－ξ）；

（4）共軛 的傅里葉變換是

（5）時移（延遲） f（x－x0）的傅里葉變換是eix0ξF（ξ）；

（6）頻移（調(diào)頻） F（ξ－ξ0）是f（x）e－iξ0x的傅里葉變換（ξ0是常數(shù)）。

上面的定義都是連續(xù)型傅里葉變換，然而在地球物理實際計算中都是離散型數(shù)據(jù)，因此我們感興趣的是數(shù)據(jù)是離散的情況，需要將上述傅里葉變換化為有限離散傅里葉變換對：

地球物理數(shù)據(jù)處理基礎

其中N是數(shù)據(jù)點數(shù)。兩個公式除了系數(shù)和指數(shù)的符號不同外，結構基本相同，式（8－3）為離散傅里葉變換（DFT），式（8－4）為離散傅里葉反變換（IDFT）。

4、傅里葉變換的性質(zhì)

傅里葉變換的線性，是指兩函數(shù)的線性組合的傅里葉變換，等于這兩個函數(shù)分別做傅里葉變換后再進行線性組合的結果。具體而言，假設函數(shù) 和 的傅里葉變換 和 都存在， 和 為任意常系數(shù)，則有

若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，則對任意的非零實數(shù) ，函數(shù) 的傅里葉變換 存在，且等于

對于 的情形，上式表明，若將 的圖像沿橫軸方向壓縮 倍，則其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬 倍，同時高度變?yōu)樵瓉淼?。對于 的情形，還會使得傅里葉變換的圖像關于縱軸做鏡像對稱。 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，則存在

若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，則對任意實數(shù) ，函數(shù) 也存在傅里葉變換，且其傅里葉變換 等于

也就是說， 可由 向右平移 得到。 若函數(shù) 的傅里葉變換為 ，且其導函數(shù) 的傅里葉變換存在，則有

即導函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 。更一般地，若 的 階導數(shù) 的傅里葉變換存在，則

即 階導數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子 。 若函數(shù) 以及 都在 上絕對可積，則卷積函數(shù)

的傅里葉變換存在，且

若 的傅里葉變換為 ， 的傅里葉變換為 ，則有

若函數(shù) 以及 平方可積，二者的傅里葉變換分別為 與 ，則有

上式被稱為Parseval定理。特別地，對于平方可積函數(shù) ，有

上式被稱為Plancherel定理。這兩個定理表明，傅里葉變換是平方可積空間 上的一個運算符（若不考慮因子 ）。

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