1、偏微分方程是什么

1、在多元函數(shù)中,函數(shù)對(duì)每一個(gè)自變量求導(dǎo)，就是偏導(dǎo)數(shù)。由此，對(duì)每個(gè)自變量的微分，就是偏微分。

2、如：z=f(x，y)，則偏z偏x，就是z對(duì)x求導(dǎo)，稱為z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，這時(shí)y視為常量。z對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)同理可求。偏微分，就是偏導(dǎo)數(shù)乘一個(gè)dx或dy。全微分，就是兩個(gè)偏微分之和。

3、偏微分方程是包含未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(或偏微分)的方程。方程中所出現(xiàn)未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為該方程的階。在數(shù)學(xué)、物理及工程技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的，是二階偏微分方程，習(xí)慣上把這些方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。

2、偏微分方程

偏微分方程包含未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(或偏微分)的方程。

包含未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(或偏微分)的方程。方程中所出現(xiàn)未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為該方程的階。在數(shù)學(xué)、物理及工程技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的，是二階偏微分方程，習(xí)慣上把這些方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。

客觀世界的物理量一般是隨時(shí)間和空間位置而變化的，因而可以表達(dá)為時(shí)間坐標(biāo)t和空間坐標(biāo)函數(shù)，這種物理量的變化規(guī)律往往表現(xiàn)為它關(guān)于時(shí)間和空間坐標(biāo)的各階變化率之間的關(guān)系式，即函數(shù)u關(guān)于t。

設(shè)Ω是自變數(shù)空間R中一個(gè)區(qū)域，u是在這個(gè)區(qū)域上定義的具|α|階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就稱u是該方程在Ω中的一個(gè)經(jīng)典意義下的解，簡(jiǎn)稱為經(jīng)典解。在不致誤會(huì)的情況下，就稱為解。

偏微分方程理論研究一個(gè)方程（組）是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解（解的存在性），有多少個(gè)解（解的惟一性或自由度），解的各種性質(zhì)以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來(lái)解釋和預(yù)見(jiàn)自然現(xiàn)象以及把它用之于各門科學(xué)和工程技術(shù)。

偏微分方程理論的形成和發(fā)展都與物理學(xué)和其他自然科學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)，并彼此促進(jìn)和推動(dòng)。其他數(shù)學(xué)分支，如分析學(xué)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等理論的發(fā)展也都給予偏微分方程以深刻的影響。

3、偏微分方程

偏微分方程是包含未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(或偏微分)的方程。

方程中所出現(xiàn)未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為該方程的階。

在數(shù)學(xué)、物理及工程技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的，是二階偏微分方程，習(xí)慣上把這些方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。

偏微分方程起源：

微積分方程這門學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動(dòng)力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。不過(guò)這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。

1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。

和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題，提出了解彈性系振動(dòng)問(wèn)題的一般方法，對(duì)偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。

偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。

這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中，寫(xiě)出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。

4、偏微分方程

偏微分方程是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，它是描述自然現(xiàn)象和物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。偏微分方程通常用于描述一些變量隨時(shí)間、空間等因素的變化規(guī)律。它們可以用來(lái)解決許多重要的實(shí)際問(wèn)題，如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱傳導(dǎo)、量子力學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題。

偏微分方程可以分為幾種類型，包括：

1. 橢圓型偏微分方程：用于描述穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，如靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)等。

2. 拋物型偏微分方程：用于描述熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、波動(dòng)等問(wèn)題。

3. 雙曲型偏微分方程：用于描述波動(dòng)、震蕩等問(wèn)題。

解決偏微分方程的方法包括分離變量法、變換法、數(shù)值方法等。在實(shí)際應(yīng)用中，偏微分方程的求解通常需要結(jié)合數(shù)值方法和計(jì)算機(jī)模擬來(lái)進(jìn)行。

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