1、什么是概率密度函數？

設：概率分布函數為：F(x)

概率密度函數為：f(x)

二者的關系為：f(x) = dF(x)/dx

即：密度函數f 為分布函數 F 的一階導數。或者分布函數為密度函數的積分。

定義分布函數，是因為在很多情況下，我們并不想知道在某樣東西在某個特定的值的概率，頂多想知道在某個范圍的概率，于是，就有了分布函數的概念。

而概率密度，如果在x處連續的話。就是分布函數F(x)對x求導，反之，知道概率密度函數，通過負無窮到x的積分，也可以求得分布函數。

概率密度：

單純的講概率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。可以把概率密度看成是縱坐標，區間看成是橫坐標，概率密度對區間的積分就是面積，而這個面積就是事件在這個區間發生的概率，所有面積的和為1。所以單獨分析一個點的概率密度是沒有任何意義的，它必須要有區間作為參考和對比。

以上內容參考：百度百科-概率密度

2、概率密度函數是什么

Y的概率密度函數為當1＜y＜3時，P(y)=1/2，y取其他值時，P(y)=0。

解：令Y的分布函數為FY(y)。

因為Y=2X+1，則

FY(y)=F(Y≤y)=F(2X+1≤y)=F(X≤(y-1)/2)。

當(y-1)/2≤0時，即y≤1時，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=0。

當0＜(y-1)/2＜1時，即1＜y＜3時，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=∫(0,(y-1)/2)dx=(y-1)/2。

當(y-1)/2≥1時，即y≥3時，F(Y≤y)=F(X≤(y-1)/2)=1。

所以Y的概率密度函數為

當y≤1時，P(y)=(0)\'=0。

當1＜y＜3時，P(y)=((y-1)/2)\'=1/2。

當y≥3時，P(y)=(1)\'=0。

因此隨機變量Y服從(1，3)上的均勻分布。

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單純的講概率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。

可以把概率密度看成是縱坐標，區間看成是橫坐標，概率密度對區間的積分就是面積，而這個面積就是事件在這個區間發生的概率，所有面積的和為1。所以單獨分析一個點的概率密度是沒有任何意義的，它必須要有區間作為參考和對比。

來源：百度百科-概率密度

3、什么是概率密度函數？

密度函數指概率密度函數。

密度函數是一段區間的概率除以區間長度，值為正數，可大可小；而分布函數則是可以使用數學分析方法研究隨機變量的一種曲線。密度函數一般只針對連續型變量，而分布函數則是既針對連續型也針對離散型隨機變量。求解分布函數的時候要進行分類討論和定積分計算，求解密度函數的時候需要進行求導。

概率密度和分布函數的區別是概念不同、描述對象不同、求解方式不同。

1、概念不同：概率指事件隨機發生的機率，對于均勻分布函數，概率密度等于一段區間(事件的取值范圍)的概率除以該段區間的長度，它的值是非負的，可以很大也可以很小；分布函數是概率統計中重要的函數，正是通過它，可用數學分析的方法來研究隨機變量。

分布函數是隨機變量最重要的概率特征，分布函數可以完整地描述隨機變量的統計規律，并且決定隨機變量的一切其他概率特征。

2、描述對象不同：概率密度只是針對連續性變量而言，而分布函數是對所有隨機變量取值的概率的討論，包括連續性和離散型。

3、求解方式不同：已知連續型隨機變量的密度函數，可以通過討論及定積分的計算求出其分布函數；當已知連續型隨機變量的分布函數時，對其求導就可得到密度函數。

對離散型隨機變量而言，如果知道其概率分布（分布列），也可求出其分布函數；當然，當知道其分布函數時也可求出概率分布。

4、概率密度函數

連續型隨機變量的概率密度函數（在不至于混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。

而隨機變量的取值落在某個區域之內的概率則為概率密度函數在這個區域上的積分。當概率密度函數存在的時候，累積分布函數是概率密度函數的積分。概率密度函數一般以小寫標記。

注意事項：

單純的講概率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。可以把概率密度看成是縱坐標，區間看成是橫坐標，概率密度對區間的積分就是面積，而這個面積就是事件在這個區間發生的概率，所有面積的和為1。

所以單獨分析一個點的概率密度是沒有任何意義的，它必須要有區間作為參考和對比。

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